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【原创作品】bbs.kaoyan.com陕西师范大学2003年研究生入学考试高等代数试题【资料下载】
设A是n*n常数矩阵(n＞1)，X是由未知数X1、X2、…、Xn组成的列向量，B是由常数b1、b2、…、bn组成的列向量，线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件不是______。
A．A的秩等于n
B．A的秩不等于0
C．A的行列式值不等于0
D．A存在逆矩阵
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：本题考查线性代数的基础知识。
矩阵概念来源于求解线性方程组。有了矩阵概念后，线性方程组就可以用非常简略的形式AX=B来描述。A就是线性方程组的系数矩阵。矩阵的加法来源于两个线性方程组分别相加；矩阵乘法来源于线性方程组变量的线性变换。
推导线性方程组的求解公式时可以发现，解的公式表示中，分母就是系数矩阵A的行列式。因此，该线性方程组有唯一解的充分必要条件是矩阵A的行列式不为0。
推导矩阵A的逆矩阵公式时，其分母也是矩阵A的行列式。因此，矩阵A存在逆矩阵的充分必要条件是矩阵A的行列式不为0。
线性方程组有唯一解的充分必要条件是这几个方程是线性无关的，或线性独立的(不能由其中几个方程导出其他某个方程)。方程少、未知数多时，线性方程组将不会有唯一解。系数矩阵A的秩就是其中线性方程组中线性无关的方程个数。如果A的秩等于行列数n，即满秩，那这些方程就是线性独立的，或线性无关的(不能互相推导出来的)。这种线性方程组就有唯一解。如果A的秩小于行列数n，即不满秩，那这些方程就不是线性独立的，其中有些方程是可以从其他方程推导出来的，因此，该线性方程组就不会有唯一解。反之亦然。
因此，线性方程组AX=B有唯一解，等价于矩阵A有逆矩阵，也等价于矩阵A的行列式不为0，也等价于矩阵A的秩为n(满秩)。
解析：本题考查线性代数的基础知识。
矩阵概念来源于求解线性方程组。有了矩阵概念后，线性方程组就可以用非常简略的形式AX=B来描述。A就是线性方程组的系数矩阵。矩阵的加法来源于两个线性方程组分别相加；矩阵乘法来源于线性方程组变量的线性变换。
推导线性方程组的求解公式时可以发现，解的公式表示中，分母就是系数矩阵A的行列式。因此，该线性方程组有唯一解的充分必要条件是矩阵A的行列式不为0。
推导矩阵A的逆矩阵公式时，其分母也是矩阵A的行列式。因此，矩阵A存在逆矩阵的充分必要条件是矩阵A的行列式不为0。
线性方程组有唯一解的充分必要条件是这几个方程是线性无关的，或线性独立的(不能由其中几个方程导出其他某个方程)。方程少、未知数多时，线性方程组将不会有唯一解。系数矩阵A的秩就是其中线性方程组中线性无关的方程个数。如果A的秩等于行列数n，即满秩，那这些方程就是线性独立的，或线性无关的(不能互相推导出来的)。这种线性方程组就有唯一解。如果A的秩小于行列数n，即不满秩，那这些方程就不是线性独立的，其中有些方程是可以从其他方程推导出来的，因此，该线性方程组就不会有唯一解。反之亦然。
因此，线性方程组AX=B有唯一解，等价于矩阵A有逆矩阵，也等价于矩阵A的行列式不为0，也等价于矩阵A的秩为n(满秩)。
设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.
答案：
解析：
设A为三阶实对称矩阵,A的每行元素之和为5,AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值,
对应特征向量为(-1,0,1)^T.
(1)求A的其他特征值与特征向量；
(2)求A.
对应特征向量为(-1,0,1)^T.
(1)求A的其他特征值与特征向量；
(2)求A.
答案：
解析：
设向量组α1,…,αn为两两正交的非零向量组,证明：α1,…,αn线性无关,并举例说明逆命题不成立.
答案：
解析：
设A是三阶实对称矩阵,r(A)=1,A^2－3A=O,设（1,1,-1）t为A的非零特征值对应的特征向量.(1)求A的特征值；(2)求矩阵A.
答案：
解析：
范大学2003年研究生入学考试高等代数试题 一 （18分）设 1230513A=,求 二 （16分）计算行列式 222244441111。 三（20分）设 n 的矩阵，的特解， 的一个非零解。证明： （1）是的线性无关的解向量。 （2）的解都可以表示为 12()+且 121。 四（20分）设向量组 123,量组 234,证明： （1） 1,a 能由 23,（2） 4a 不能由 1,23,五（ 16分）对于行列式为零的明：存在非零的得 0。 六（20 分）设 1212(,),(,)为实数空间 的任意两个向量，()为明： 于内积 (,) 做成欧氏空间的充分且必要条件是七（20分）证明：多项式 22()1 + 能整除 134()1 + 的充分且必要条件是八（20 分）设为明：如果 的特征值全为正实数，则 0A = .
设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明：向量β为零向量.
答案：
解析：
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量.
(1)证明α,Aα线性无关；
(2)若Aα^2+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化；
(1)证明α,Aα线性无关；
(2)若Aα^2+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化；
答案：
解析：
设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________.
答案：1、1.
解析：
设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意常数k,l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2,α3线性无关的
A.A必要非充分条件
B.充分非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
B.充分非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
答案：A
解析：
设A为s×n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r×s矩阵。证明：B＝KA行无关的充分必要条件是R(K)=r
答案：
解析：
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考题
单选题设向量组Ⅰ：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，其秩为r；向量组Ⅱ：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，β(→)，其秩为s，则r＝s是向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价的（ ）。A
充分非必要条件B
必要非充分条件C
充分必要条件D
既非充分也非必要条件正确答案：A解析：两向量组等价的充要条件是它们有相同的秩。
考题
设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是（ ）.A.A的列向量组线性无关
B.A的列向量组线性相关
C.A的行向量组线性无关
D.A的行向量组线性相关答案：A解析：因为AX=0仅有零解的充分必要条件是A的秩r（A）=n，所以A的列向量组线性无关是AX=0仅有零解的充分条件.
考题
问答题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx(→)＝0(→)有解向量α，且Ak－1α(→)≠0(→)，证明：向量组α(→)，Aα(→)，…，Ak－1α(→)是线性无关的。正确答案：根据定义可设l0α(→)+l1Aα(→)+…+lk-1Ak-1α(→)=0(→)。 当k≥2时,左乘Ak-1得到l0Ak-1α(→)+l1Akα(→)+…+lk-1A2k-2α(→)=0(→),因为Akα(→)=0(→),则l0Ak-1α(→)=0(→),但Ak-1α(→)≠0(→),则l0=0,l1Aα(→)+…+lk-1Ak-1α(→)=0(→)。 类似,依次左乘Ak-2,Ak-3,…,得到l1=…=lk-1=0,因此当k≥2时,α(→),Aα(→),…,Ak-1α(→)线性无关。 当k=1时,Ak-1α(→)≠0(→),则α(→)≠0(→),向量α(→)线性无关。 综上,向量组α(→),Aα(→),…,Ak-1α(→)是线性无关的。解析：暂无解析
考题
问答题设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r线性表示，但不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示，证明： （1）α(→)r不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示； （2）α(→)r能由α(→)1，α(→)2，…，α(→)r，β(→)线性表示。正确答案：(1)(反证法) 可设α(→)r能由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r-1线性表示,即α(→)r=k1α(→)1+k2α(→)2+…+kr-1α(→)r-1。 由向量β(→)可由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r线性表示,有β(→)=l1α(→)1+l2α(→)2+…+lr-1α(→)r-1+lrα(→)r。 所以有β(→)=(l1+lrk1)α(→)1+(l2+lrk2)α(→)2+…+(lr-1+lrkr-1)α(→)r-1,即β(→)可由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r-1线性表示,这与已知条件相矛盾,故α(→)r不能由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r-1线性表示。 (2)由β(→)=l1α(→)1+l2α(→)2+…+lr-1α(→)r-1+lrα(→)r和β不能由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r-1线性表示,可知lr≠0,故α(→)r=β(→)/lr-l1α(→)1/lr-l2α(→)2/lr-…-lr-1α(→)r―1/lr,即α(→)r可由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r-1线性表示。解析：暂无解析
考题
问答题证明： （1）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)r是A的属于特征值λ的特征向量，则α(→)1，α(→)2，…，α(→)r的任一个非零线性组合也是A的属于λ的特征向量。 （2）矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不为0。正确答案：(1)因为α(→)1,α(→)2,…,α(→)r是A的属于特征值λ的特征向量,则有Aα(→)i=λα(→)i(i=1,2,…,r)。设k1α(→)1+k2α(→)2+…+krα(→)r是α(→)1,α(→)2,…,α(→)r的任一非零线性组合,则 A(k1α(→)1+k2α(→)2+…+krα(→)r)=k1Aα(→)1+k2Aα(→)2+…+krAα(→)r=k1λα(→)1+k2λα(→)2+…+krλα(→)r=λ(k1α(→)1+k2α(→)2+…+krα(→)r) 由定义知k1α(→)1+k2α(→)2+…+krα(→)r是A的属于特征值λ的特征向量。 (2)必要性 设矩阵A可逆,可知行列式,A,≠0。 由于,A,=λ1λ2…λn,故λi≠0(i=1,2,…,n)。 充分性 由矩阵A的特征值λi≠0(i=1,2,…,n),知,A,=λ1λ2…λn≠0,即矩阵A可逆。解析：暂无解析
考题
问答题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r＞0，证明： （1）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组； （2）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的一个极大线性无关组。正确答案：(1)设①:α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr是α(→)1,α(→)2,…,α(→)s中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多于r个向量的向量组必线性相关,所以α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr,α(→)i(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组。 (2)设①:α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr是α(→)1,α(→)2,…,α(→)s中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价。等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r。又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此由(1)的结论有①是原向量组的极大线性无关组。解析：暂无解析
考题
设A为m×n阶矩阵,则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是().A.r(A)=m
B.r(A)=N
C.A为可逆矩阵
D.r(A)=b且b可由A的列向量组线性表示答案：D解析：方程组AX=b有解的充分必要条件是6可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选(D).
考题
单选题设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（ ）.A
向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示B
向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示C
向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价D
矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m正确答案：C解析：例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．
考题
设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（ ）。
A、矩阵A的任意两个列向量线性相关
B、矩阵A的任意两个列向量线性无关
C、矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合
D、矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合答案：D解析：
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