线性代数试题3

设三阶实对称矩阵的特征值为3,3,0,则A的秩r(A)=()

A、2

B、3

C、4

D、5

参考答案：A

设A为n阶对称矩阵,则A是正定矩阵的充分必要条件是( ).

A.二次型x^TAx的负惯性指数零

B.存在n阶矩阵C,使得A=CTC

C.A没有负特征值

D.A与单位矩阵合同

参考答案：

设A为n阶矩阵,且｜A｜=0,

≠0,则AX=0的通解为_______.

答案：

解析：

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，

答案：

解析：

设A为n阶正定矩阵,证明：对任意的可逆矩阵P,P^TAP为正定矩阵.

答案：

解析：

大学（本科）线性代数试题（二）一、单项选择题（10 分, 每小题 2 分）1. 设 4 阶行列式 D 的第 i 行第 j 列的元素为 , 则 D 的展开式中, 下列各项符号为负ija的是（）. A. ； B. ；4321a 4312aC. ； D. . 2. 设 A, B 均为 n 阶方阵, I 为 n 阶单位矩阵, 则有（）. A. ； B. ；22)(B 33)(AC. ； D. . II9)3|5|3. 设向量组的秩为 r, 则（）. m,21A. ； B. ； C. ； D. . rrmmr4. 设 n 阶矩阵 A 满足 , 则 A 的特征值为（）. 2A. 0； B. 1； C. ； D. 0 或 1. 15. 设 A, B 都是同阶正定矩阵, 则以下各类矩阵中, 二者都是正定矩阵的为（）. A. ； B. ； C. ； D. (k 为常数). T*B,1A,1二、填空题：（15 分, 每小题 3 分）1. 若齐次线性方程组有非零解, 则或 . 0231xx2. 设 A 为 n 阶矩阵且 , 则 . |A|)(|1TA3. 向量组 , , , 的秩为 . )432 ,1(543 ,2)65 ,43()7,65 4(4. 设矩阵为正交矩阵, 则 a = , b = . baA2163答答答答答5. 设二次型 , 则 f 的矩阵为 A = . 321321321 04 ,),( xxxf三、计算行列式（8 分）. n 3231四、求方程组的通解（10 分）. 32141xx五、（10 分）设 , 且 , 求矩阵 X. XA401六、（10 分）设 , 问 A 能否与对角形矩阵相似？20134七、（10 分）设二次型 , 问取何值时, f32122344xxxf 为正定二次型？八、（15 分）设 , 求正交矩阵 P, 使为对角形矩阵. 421AAT九、证明题（每小题 6 分）1. 设 A 是秩为 r 的 n 阶矩阵, 证明：存在秩为的矩阵 B, 使 . rnO2. 设是 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值, 证明：是的一个特征值. 5 541AI（I 是 n 阶单位矩阵）.

设A,B为n阶正定矩阵.证明：A+B为正定矩阵.

答案：

解析：

设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,

答案：

解析：

设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且r(A)=n-1,则方程组AX=0的通解为_______.

答案：

解析：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则

A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n

答案：A

解析：

本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)

设α为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E-αα^T的秩为________.

答案：

解析：

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