数学
问答题求出两多项式函数P（x）、Q（x），使得下面等式成立： ∫[（2x4－1）cosx＋（8x3－x2－1）sinx]dx＝P（x）cosx＋Q（x）sinx＋C
题目
问答题
求出两多项式函数P（x）、Q（x），使得下面等式成立： ∫[（2x4－1）cosx＋（8x3－x2－1）sinx]dx＝P（x）cosx＋Q（x）sinx＋C
参考答案和解析
正确答案：
由∫[(2x4-1)cosx+(8x3-x2-1)sinx]dx=P(x)cosx+Q(x)sinx+C,两边对x求导,得P′(x)cosx-P(x)sinx+Q′(x)sinx+Q(x)cosx=(2x4-1)cosx+(8x3-x2-1)sinx。
等式两边的cosx和sinx项分别相等,则
P′(x)+Q(x)=2x4-1①
Q′(x)-P(x)=8x3-x2-1②
将①两边对x求导得P″(x)+Q′(x)=8x3,即
Q′(x)=8x3-P″(x)③
将③代入②整理得
P″(x)+P(x)=x2+1④
假设P(x)=ax2+bx+c,将其代入④得
2a+ax2+bx+c=x2+1
等式两边同次幂的系数应该相等,则a=1,b=0,2a+c=1,解得c=-1。
故P(x)=x2-1,Q(x)=2x4-1-P′(x)=2x4-1-2x=2x4-2x-1。
由∫[(2x4-1)cosx+(8x3-x2-1)sinx]dx=P(x)cosx+Q(x)sinx+C,两边对x求导,得P′(x)cosx-P(x)sinx+Q′(x)sinx+Q(x)cosx=(2x4-1)cosx+(8x3-x2-1)sinx。
等式两边的cosx和sinx项分别相等,则
P′(x)+Q(x)=2x4-1①
Q′(x)-P(x)=8x3-x2-1②
将①两边对x求导得P″(x)+Q′(x)=8x3,即
Q′(x)=8x3-P″(x)③
将③代入②整理得
P″(x)+P(x)=x2+1④
假设P(x)=ax2+bx+c,将其代入④得
2a+ax2+bx+c=x2+1
等式两边同次幂的系数应该相等,则a=1,b=0,2a+c=1,解得c=-1。
故P(x)=x2-1,Q(x)=2x4-1-P′(x)=2x4-1-2x=2x4-2x-1。
解析：
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